Come Risolvere Un'equazione Di Terzo Grado

La risoluzione di un'equazione di terzo grado, o equazione cubica, può sembrare un compito arduo e intimidatorio. A differenza delle equazioni di primo e secondo grado, per le quali esistono formule risolutive semplici e dirette, le equazioni cubiche richiedono un approccio più articolato. Tuttavia, con la giusta comprensione dei concetti matematici di base e l'applicazione di tecniche specifiche, è possibile trovare le soluzioni, o radici, di qualsiasi equazione cubica.

Comprendere le Equazioni di Terzo Grado

Un'equazione di terzo grado è un'equazione polinomiale nella forma generale:

ax³ + bx² + cx + d = 0

Dove a, b, c e d sono coefficienti numerici, e a è diverso da zero. L'obiettivo è trovare i valori di x che soddisfano l'equazione, ovvero i valori che, sostituiti a x, rendono vera l'uguaglianza. Questi valori sono chiamati radici o soluzioni dell'equazione.

Teorema Fondamentale dell'Algebra

Il Teorema Fondamentale dell'Algebra afferma che un'equazione polinomiale di grado n ha esattamente n radici complesse, contando le molteplicità. Questo significa che un'equazione di terzo grado ha sempre tre radici. Queste radici possono essere tutte reali, oppure una reale e due complesse coniugate. La natura delle radici dipende dai coefficienti dell'equazione.

Metodi di Risoluzione

Esistono diversi metodi per risolvere equazioni di terzo grado. Alcuni sono più semplici da applicare in casi specifici, mentre altri sono più generali ma più complessi.

1. Metodo di Fattorizzazione

Se l'equazione di terzo grado può essere fattorizzata, la risoluzione diventa molto più semplice. La fattorizzazione consiste nello scrivere l'equazione come prodotto di polinomi di grado inferiore, idealmente di primo grado (x - r), dove r è una radice. Se riusciamo a fattorizzare l'equazione nella forma:

(x - r₁)(x - r₂)(x - r₃) = 0

Allora le radici sono semplicemente r₁, r₂ e r₃.

Esempio: Consideriamo l'equazione x³ - 6x² + 11x - 6 = 0. Possiamo notare che x = 1 è una radice (provando si verifica che 1³ - 6(1)² + 11(1) - 6 = 0). Quindi, possiamo dividere il polinomio per (x - 1) ottenendo x² - 5x + 6. Questo polinomio quadratico si fattorizza facilmente in (x - 2)(x - 3). Quindi l'equazione originale diventa (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0, e le radici sono x = 1, x = 2 e x = 3.

2. Formula di Cardano-Tartaglia

La Formula di Cardano-Tartaglia è un metodo generale per risolvere equazioni di terzo grado. È una formula complessa, ma fornisce una soluzione per qualsiasi equazione cubica. Il processo è il seguente:

1. Riduzione alla forma depressa: Prima di applicare la formula, è utile ridurre l'equazione alla forma "depressa", ovvero senza il termine quadratico. Questo si ottiene con la sostituzione x = y - b/(3a). L'equazione originale ax³ + bx² + cx + d = 0 si trasforma in un'equazione della forma y³ + py + q = 0, dove p e q sono nuovi coefficienti calcolati in funzione di a, b, c e d.
2. Applicazione della formula: La formula di Cardano-Tartaglia per l'equazione depressa y³ + py + q = 0 è:

   y = ³√(-q/2 + √Δ) + ³√(-q/2 - √Δ)

   dove Δ = (q/2)² + (p/3)³ è il discriminante.

3. Calcolo delle radici: La formula fornisce una soluzione per y. Poiché stiamo lavorando con radici cubiche, ogni termine ha tre possibili valori (uno reale e due complessi). Bisogna fare attenzione a scegliere i valori delle radici cubiche in modo che il loro prodotto sia -p/3 per garantire che y sia una soluzione.
4. Ritorno alla variabile originale: Infine, si calcola la radice x utilizzando la sostituzione iniziale: x = y - b/(3a).

La formula di Cardano-Tartaglia può portare a espressioni complesse, anche quando le radici sono reali. Questo è noto come il casus irreducibilis. In questi casi, è spesso preferibile utilizzare metodi numerici.

3. Metodi Numerici

Quando la fattorizzazione è difficile e la formula di Cardano-Tartaglia è troppo complessa, i metodi numerici offrono un'alternativa pratica. Questi metodi non forniscono una soluzione esatta, ma un'approssimazione con un grado di precisione desiderato.

• Metodo di Newton-Raphson: Questo metodo iterativo parte da una stima iniziale della radice e la raffina progressivamente utilizzando la derivata della funzione. La formula iterativa è:

  x_n+1 = x_n - f(x_n)/f'(x_n)

  Dove f(x) = ax³ + bx² + cx + d e f'(x) = 3ax² + 2bx + c è la sua derivata.

• Metodo della bisezione: Questo metodo richiede di trovare un intervallo [a, b] in cui la funzione cambia segno (ovvero, f(a) e f(b) hanno segni opposti). La radice si trova allora nell'intervallo [a, b]. Si calcola il punto medio c = (a + b)/2 e si valuta f(c). Se f(c) ha lo stesso segno di f(a), allora la radice si trova nell'intervallo [c, b]; altrimenti, si trova nell'intervallo [a, c]. Si ripete il processo finché l'intervallo non è sufficientemente piccolo da fornire una buona approssimazione della radice.

I metodi numerici sono particolarmente utili quando si lavora con equazioni complesse o quando si richiede un'approssimazione rapida della soluzione.

Esempio Pratico e Applicazioni Reali

Le equazioni di terzo grado compaiono in molti campi scientifici e ingegneristici. Ecco alcuni esempi:

• Ingegneria: Nel calcolo della deflessione di travi soggette a carichi complessi, possono emergere equazioni cubiche. La soluzione di queste equazioni è cruciale per garantire la stabilità e la sicurezza delle strutture.
• Fisica: In termodinamica, le equazioni di stato di alcuni fluidi, come l'equazione di van der Waals, sono equazioni cubiche nel volume molare. Risolvere queste equazioni permette di determinare le proprietà termodinamiche del fluido.
• Chimica: Nel calcolo degli equilibri chimici, le concentrazioni dei reagenti e dei prodotti possono essere determinate risolvendo equazioni cubiche.
• Economia: Nella modellizzazione di alcuni fenomeni economici, come la crescita economica o la domanda e l'offerta, possono comparire equazioni cubiche.

Esempio di ingegneria: Supponiamo di avere una trave incastrata a un'estremità e soggetta a un carico distribuito. La deflessione della trave in un punto specifico può essere descritta da un'equazione della forma x³ - 3Lx² + 2L³ = 0, dove x è la distanza dal punto di incastro e L è la lunghezza della trave. Risolvere questa equazione permette di determinare la posizione in cui la deflessione è massima o minima.

Immaginiamo che L=2. L'equazione diventa x³ - 6x² + 16 = 0. La formula di Cardano-Tartaglia, o un metodo numerico come Newton-Raphson, permetterebbe di trovare una soluzione approssimativa per la deflessione. In questo caso possiamo utilizzare un tool online che ci dice le soluzioni: x≈ -1.65, x≈ 2.82 ± 1.43i

Conclusione

La risoluzione di un'equazione di terzo grado può essere complessa, ma esistono diversi metodi per affrontarla. La fattorizzazione è il metodo più semplice quando applicabile. La Formula di Cardano-Tartaglia fornisce una soluzione generale, ma può portare a espressioni complesse. I metodi numerici offrono un'alternativa pratica per ottenere approssimazioni accurate. La scelta del metodo dipende dalla specifica equazione e dalle esigenze di precisione.

Comprendere le equazioni di terzo grado e i metodi per risolverle è fondamentale in molti campi scientifici e ingegneristici. Che si tratti di progettare strutture, modellizzare processi fisici o analizzare dati economici, la capacità di risolvere equazioni cubiche è uno strumento prezioso. Non scoraggiarti dalla complessità: la pratica e la comprensione dei concetti di base ti permetteranno di padroneggiare queste equazioni e di applicarle con successo.